Авеланж родился 8 мая 1916 года в Рио-де-Жанейро в семье бельгийского торговца оружием. Однако будущий президент ФИФА избрал другой путь и связал свою жизнь со спортом. Бразилец дважды принимал участие в Олимпийских играх. В Берлине в 1936 году он выступил в плавании, а спустя 16 лет в Хельсинки играл за сборную Бразилии в турнире по водному поло.
Авеланж получил диплом адвоката, занимался предпринимательской деятельностью, работал в транспортной компании.
Без малого 25 лет - с 1974 по 1998 год - Авеланж возглавлял ФИФА. Он стал седьмым президентом этой организации и первым не европейцем, руководившим ею. Также с 1963 по 2011 год он был членом Международного олимпийского комитета (МОК). До 2013 занимал должность почетного президента ФИФА, однако был вынужден покинуть пост, после обвинений в коррупции.
В последнее время функционер испытывал проблемы с легкими и несколько раз был вынужден подвергнуться амбулаторному лечению. В июле этого года он попал в больницу с пневмонией, после которой так и не смог выздороветь.